Demostración teorema de Bolzano

Aquí os dejo una de las muchas demostraciones que podemos utilizar para demostrar el teorema de Bolzano. Si veis algún error, no dudéis en dejarlo de comentario.

DEMOSTRACIÓN:

Observación 1: Si $f(a)f(b)<0$ quiere decir que o $f(a) < 0 < f(b)$ ó $f(b)<0<f(a).$

Observación 2: el $c$ del teorema no debe ser único.

Demostración: como $f(a)f(b) <0$ , se tiene que $f(a) < 0 < f(b)$ ó $f(b) < 0 < f(a)$ . Supongamos que $f(a) < 0 < f(b)$ . Y encontremos un $f(c) = 0$ .

Consideramos $A=\{x \in [a,b]|f(x)\le 0\}$ . Sea $A$ un conjunto distinto del vacío, (ya que $a \in A$ ). $A$ está acotada. En particular $A$ está acotada superiormente. Luego por el Principio del Supremo, existe el supremo de $A$ . Llamemos $c = \sup A$ .

Como $c = \sup A$ , existe una sucesión $X_n$ , tal que $\lim X_n= c$ . Luego podemos afirmar que $a \le c$ (porque c es el supremo de A, y $a \in A$ ), y $c \le b$ (ya que c es el supremo de A y b es cota superior de A).

Así que $c \in A$ . $X_n \in A$ . Luego como $A=\{x \in [a,b]|f(x)\le 0\}$ , entonces $f(X_n)\le 0$ .

Como $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ , entonces el límite $f(X_n) = f(c)$ . Luego $f(c) \le 0$ .

Elijamos una sucesión $Y_n$ tal que $c\le Y_n\le b$ , y $\lim Y_n=c$ . Como $f$ es continua en $c$ , $\lim f(Y_n) = f(c)$ . Como supusimos que $c = \sup A$ , y $c < Y_n$ , entonces $Y_n \not\in A$ luego $f(Y_n) > 0$ . Entonces $f(Y_n) \ge 0$ .

Como $f(Y_n) = f(c)$ , entonces tendemos que $0 \le f(c) \le 0$ . Así que $f(c) = 0$ . Como queríamos demostrar.

Para demostrar ahora $f(b) < 0 < f(a)$ , consideramos $g = -f$ . $g(a) < 0 < g(b)$ . $g$ es continua en el intervalo $[a, b]$ . Entonces existe un $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$ . Como $g = - f$ , entonces $g(c) = - f(c)$ . Luego $-f(c)=0$ , y $f(c) = 0.$